Пространство состояний (теория управления)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение его состояний.

Содержание

Определение

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системы

Для случая линейной системы с p \! входами, q \! выходами и n переменными состояния описание имеет вид:

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

где

x(t) \in \mathbb{R}^n; y(t) \in \mathbb{R}^q; u(t) \in \mathbb{R}^p;
\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n, \operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p, \operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n, \operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p, \dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}.

x(\cdot) — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы y(\cdot) — вектор выхода, u(\cdot) вектор управления, A(\cdot) — матрица системы, B(\cdot) матрица управления, C(\cdot) матрица выхода и D(\cdot) матрица прямой связи. Часто матрица D(\cdot) является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

\mathbf{x}(nT + 1) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)
\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)

Нелинейные системы

Более общая форма для нелинейных систем выглядит следующим образом:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, x(t), u(t))
\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, x(t), u(t))

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода. Если функция f(\cdot,\cdot,\cdot) является линейной комбинацией переменных состояния и входа, тогда уравнения могут быть записаны в матричном виде.

Примеры

Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

ml\ddot\theta(t)= -mg\sin\theta(t) - kl\dot\theta(t) \!

где

  • \theta(t) \! — угол отклонения маятника.
  • m \! — приведённая масса мятника
  • g \! — ускорение свободного падения
  • k \! — коэффициент трения в подшипнике подвеса
  • l \! — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

\dot{x_1}(t) = x_2(t)
\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)

где

Запись уравнений состояния в общем виде:

\dot{x}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf{f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t) \end{matrix} \right)

См. также

Внешние ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home