Центральная предельная теорема

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества слабозависимых случайных величин имеет распределение близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных факторов, центральные пределы теоремы обосновывают популярность нормального распределения.

Содержание

Классическая формулировка Ц.П.Т.

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots суть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние μ и σ2 соответственно. Пусть S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда

\frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Обозначив символом \bar{X} выборочное среднее первых n величин, то есть \bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i, мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Замечания

  • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение близкое к N(nμ,nσ2). Эквивалентно, \bar{X} имеет распределение близкое к N(μ,σ2 / n).
  • Случайные величины \{X_i\}_{i=1}^{\infty} могут быть определены на разных вероятностных пространствах. Они лишь должны принимать значение в одной и той же вещественной прямой.
  • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив Z_n = \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt{n}}, получаем F_{Z_n}(x) \to \Phi(x),\; \forall x \in \mathbb{R}, где Φ(x) — функция распределения стандартного нормального распределения.
  • Центральная предельная теорема в классической фоормулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
  • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае имеет место

Локальная Ц.П.Т.

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин \{X_i\}_{i=1}^{\infty} абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение Zn также абсолютно непрерывно, и более того

f_{Z_n}(x) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}} при n \to \infty,

где f_{Z_n}(x) - плотность случайной величины Zn, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

Некоторые обобщения

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

Ц.П.Т. Линдеберга

Пусть независимые случайные величины X_1,\ldots ,X_n, \ldots определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: \mathbb{E}[X_i] = \mu_i,\; \mathrm{D}[X_i] = \sigma^2_i. Как и прежде построим частичные суммы S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i. Тогда в частности, \mathbb{E}[S_n] = m_n = \sum\limits_{i=1}^n \mu_i,\; \mathrm{D}[S_n] = s_n^2 = \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i^2. Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

\forall \varepsilon>0,\; \lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}\left[\frac{(X_i-\mu_i)^2}{s_n^2}\, \mathbf{1}_{\{|X_i-\mu_i|> \varepsilon s_n\}}\right] = 0.

Тогда

\frac{S_n-m_n}{s_n} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Ц.П.Т. Ляпунова

Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины {Xi} имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

r^3_n = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left[|X_i-\mu_i|^3\right]. Если предел
\lim\limits_{n\to \infty} \frac{r_n}{s_n} = 0 (условие Ляпунова),

то

\frac{S_n-m_n}{s_n} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.

Ц.П.Т. для мартингалов

Пусть процесс (X_n)_{n\in \mathbb{N}} является мартингалом. Введём случайные процессы \sigma^2_n и τn следующим образом:

\sigma_n^2 = \mathbb{E} \left[(X_{n+1}-X_n)^2 \mid X_1 ,\ldots, X_n\right]

и

\tau_n = \min\left\{n \left\vert\; \sum_{i=1}^n \sigma^2_i \ge n \right. \right\}.

Тогда

\frac{X_{\tau_n}}{\sqrt{n}} \to N(0,1) по распределению при n \to \infty.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home