Дивергенция

Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Содержание

Определение

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

\operatorname{div}\,\mathbf{F} =\nabla \mathbf{F}


Физическая интерпретация

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{S \rightarrow 0} {\Phi_\mathbf{F} \over V}

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат


Например, если в качестве векторного поля мы возьмём совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет нам местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

  • Линейность
\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),

или

\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).
  • Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:
\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),

или

\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).
\operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \mathcal{4}\varphi
  • Дивергенция от ротора:
\operatorname{div} (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home