Интегральный признак Коши

Интегральный признак Коши — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши даёт возможность свести проверку сходимости ряда и проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на [1,\infty), последний часто может быть найден в явном виде.

Содержание

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется:

  1. f(x)>0 \ \forall x (функция принимает только положительные значения)
  2. f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2 (функция монотонно убывает)
  3. f(n) = an

Тогда ряд \sum_{n=1}^\infty a_n и несобственный интеграл \int_1^\infty f(x)\,dx сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

  1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
  2. Площадь большей фигуры равна Sb = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n − 1)
  3. Площадь меньшей фигуры равна Ss = f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)
  4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна S_{tr}=\int_1^n f(x)\,dx
  5. Получаем S_s \le S_{tr} \le S_b \; \Rightarrow \; S_n - a_1 \le \int_1^n f(x)\,dx \le S_{n-1}
  6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры

  • \sum\frac1n расходится так как \int_1^\infty\frac1xdx=\ln|_1^\infty=\infty.
  • \sum\frac1{n^2} сходится так как \int_1^\infty\frac1{x^2}dx=-\left.\frac1x\right|_1^\infty=1.

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток rn знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

S_n - a_1 \le \int_1^n f(x)\,dx \le S_{n-1}

с помощью несложных преобразований получаем:

\int_{n+1}^\infty f(x)\,dx \le r_n \le a_{n+1} \int_{n+1}^\infty f(x)\,dx.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home