Алгебраическая система

Алгебраическая система или алгебраическая структурамножество G (носитель) с заданным на нём набором операций (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. То есть понятие алгебраической системы является специализацией понятия универсальной алгебры.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество G^n \to G. По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера иных можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

Содержание

Список алгебраических систем

  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций.

Группоиды, полугруппы, группы

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией \cdot: G\times G \to G, обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x \cdot a = b имеет единственное решение для любых a и b.
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
  • Лупа — квазигруппа с единичным элементом e\in G, таким, что a\cdot e = e \cdot a = a.
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.
  • Моноид — полугруппа с единичным элементом.
  • Группа — моноид с делением. Для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a-1, такой, что a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, a\cdot b = b \cdot a. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Модули

Алгебры

(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x\!

Решётки

Литература

  • П. Кон «Универсальная алгебра»,— М.: Мир, 1969, 351 с.
  • "Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)", В.А. Артамонов и др., под редакцией Л.А. Скорнякова, —-- М.: Наука, Физматлит, 1990-1991, 592 с. + 480 с.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home