Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо) — понятие абстрактной алгебры: коммутативное кольцо, в котором 0≠1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0≠1 исключает из рассмотрения тривиальное кольцо {0}.

Эквивалентные определения: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Содержание

Примеры

  • Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел \mathbb Z.
  • Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
  • Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо \mathbb{Z}[x] многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо \mathbb{R}[x,y] многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
  • Множество действительных чисел вида a+b\sqrt{2} есть подкольцо поля \mathbb{R}, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a + bi, где a и b целые (множество Гауссовых целых).
  • Пусть U — связное открытое подмножество комплексной плоскости \mathbb{C}. Тогда кольцо H(U) всех голоморфных функций f:U\rightarrow\mathbb{C} будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
  • Если K — коммутативное кольцо, а I — идеал в K, то фактор-кольцо K / I целостное тогда и только тогда, когда I — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b — элементы целостного кольца K. Говорят, что «a делит b» или «a — делитель b» (и пишут a\mid b), если и только если существует элемент x\in K такой, что ax = b.

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c, то a делит c. Если a делит b и c, то a делит также их сумму b + c и разность b - c.

Для кольца K с единицей элементы a\in K, которые делят 1, называются делителями единицы, а иногда и просто единицами. Они и только они, обратимы в K. Единицы делят все остальные элементы кольца.

Необратимый элемент q целостного кольца называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух необратимых элементов.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым, если из того, что p\mid ab, следует p\mid a или p\mid b. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце \mathbb{Z}, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p — простой элемент поля, то порождаемый им главный идеал (p) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

  • Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
    • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
  • Если A ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.
  • Если A ― коммутативное кольцо с единицей и I ― некоторый идеал в A, то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост.
  • Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home