Магический квадрат

Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица n\times n, заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.

Магические квадраты существуют для всех порядков n\ge 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

M(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}

Содержание

Исторически значимые магические квадраты

Квадрат Ло Шу

Ло Шу (кит. трад. 洛書, упрощ. 洛书, пиньинь luò shū) Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображения на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

4 9 2
3 5 7
8 1 6


Квадрат Альбрехта Дюрера

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты с дополнительными свойствами

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует всего три дьявольских магических квадрата 4×4:

1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Построение магических квадратов

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. (http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm). Найти все магические квадраты порядка n удается только для n\le 4, поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n > 4. Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (i,j) поставить число 1+((i-j+(n-1)/2) \mod n)n+((i+j-(n+1)/2) \mod n).

Примеры более сложных квадратов

Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности (см. http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf). Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее (см. http://www.kspu.ru/magazine/no4/pub/pr3-4.htm). Сказанное иллюстрируют следующие схемы:

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
100 99 93 7 5 6 4 8 92 91
11 89 88 84 16 15 17 83 82 20
30 22 78 77 75 26 74 73 29 21
61 39 33 67 66 65 64 38 32 40
60 52 48 44 56 55 47 43 49 51
50 42 53 54 46 45 57 58 59 41
31 62 63 37 36 35 34 68 69 70
71 72 28 27 25 76 24 23 79 80
81 19 18 14 85 86 87 13 12 90
10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home