Интеграл Римана

Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Содержание

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определение

Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка a=a_0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{n-1} < a_n=b — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a,b] на n отрезков [a_{i-1}, a_{i}],\; i=1\dots n. Длина наибольшего из отрезков maxi(ai - ai - 1) называется диаметром разбиения.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке t_i \in [a_{i-1}, a_i]. Интегральной суммой называется выражение \sum_{i=1}^n f(t_i) (a_i-a_{i-1}).

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к какому-либо числу, то это число называется интегралом функции f на отрезке [a,b] (обозначается \int\limits_a^b f(x)dx).

В этом случае, сама функция f является интегрируемой (по Риману) на [a,b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a,b].

Свойства

  • Если функция F является первообразной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b)-F(a).
  • Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.
  • Ограничение: Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на меньшем отрезке [a1,b1], где a\le a_1 < b_1\le b.
  • Если функция интегрируема на отрезке [a,b] и на отрезке [b,c], то она интегрируема и на отрезке [a,c] и \int\limits_a^c f(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx.
  • Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и \alpha, \beta \in {\Bbb R}, то функция αf + βg тоже интегрируема, и
\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)dx + \beta \int\limits_a^b g(x)dx
  • Предел: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и
\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx

См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home