Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

AA − 1 = A − 1A = E

Не для каждой матрицы существует обратная. Квадратные матрицы, для которых это верно, называются обратимыми. Для неквадратных матриц и сингулярных матриц обратных матриц не существует.

Содержание

Свойства обратной матрицы

  • \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}
  • (AB) − 1 = B − 1A − 1
  • (A − 1)' = (A') − 1

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, где x — искомый вектор, и если A - 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае размерность пространства решений больше нуля.

Способ нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Метод Гаусса

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется приведена к виду A-1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

\Lambda_1 \cdot \dots \cdot \Lambda_n \cdot A = \Lambda A = E \Rightarrow \Lambda = A^{-1}.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой.

С помощью алгебраических дополнений

Заменим в матрице A все элементы на их алгебраические дополнения, транспонируем полученную матрицу и разделим на определитель A. Полученная матрица будет искомой.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home