Бинарная операция

Бина́рной опера́цией или двуме́стной опера́цией на множестве M называется отображение M\times M \to M, которое каждой упорядоченной паре элементов (a; b) из множества M, называемых операндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества, называемый результатом. Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции «\cdot» результат её применения к двум элементам x\,\! и y\,\! записывается в виде x\cdot y.

Типы бинарных операций

  • Бинарная операция «\cdot» называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, т. е. x\cdot y = y\cdot x для любых x,y\in M.
  • Бинарная операция «\cdot» называется ассоциативной, если (x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z) для любых x,y,z\in M.

Для ассоциативной операции «\cdot» результат вычисления x_1\cdot x_2 \cdot\dots\cdot x_n не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x_1\cdot x_2 \cdot\dots\cdot x_n при n>2\,\! однозначно не определено. Иногда рассматривают более широкий класс операций:

  • Бинарная операция «\cdot» называется альтернативной если (x\cdot x)\cdot y=x\cdot(x\cdot y) и y\cdot(x\cdot x)=(y\cdot x)\cdot x для любых x,y\in M.

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание чисел. Причём сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Если абстрактную бинарную операцию называеют умножением, то её результат для элементов (a; b) называют их произведением и обозначают ab или a · b, a\times b, [a,b] и т.д. в зависимости от типа бинарной операции. В этом случае нейтральный элемент eM, т.е. элемент удовлетворяющий равенствам

ea = ae = a

для любого aM, называется единичным элементом относительно выбранной бинарной операции.

Если бинарную операцию называют сложением, образ пары элементов (a; b) называют суммой и обозначают a + b. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. В этом случае нейтральный элемент обычно обозначают символом 0, называют нулевым элементом и пишут a + 0 = 0 + a = a.)

См. также

Литература

  • Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home