Математическая индукция

Математическая индукция — в математике, один из методов доказательства. Его можно описать следующим образом.

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P_1, P_2, \ldots, P_n, P_{n+1}, \ldots

Допустим, что

  1. Установлено, что P1 верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
  2. Для любого n доказано, что если верно Pn, то верно Pn + 1. (Это утверждение называется индукционным переходом.)

Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Верность этого метода доказательства является так называемой аксиомой полной индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа.

Пример

Задача. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n и вещественное q, отличное от единицы, выполняется равенство

1 + q + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 -q}.

Доказательство. Индукция по n.

База, n = 1:

1 + q = \frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q}=\frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q}.

Переход: предположим, что

1 + q + \cdots + q^n=\frac{1- q^{n + 1}}{1 - q},

тогда

1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=
=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q},

что и требовалось доказать.

Комментарий: верность утверждения Pn в этом доказательстве — то же, что верность равенства

1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Обобщения

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home