Непрерывное равномерное распределение

Непрерывное равномерное распределение
Плотность вероятности

Функция распределения
Параметры a,b \in (-\infty,\infty), a - коэффициент сдвига, ba - коэффициент масштаба
Носитель a \le x \le b
Плотность вероятности \begin{matrix} \frac{1}{b - a} & a \le x \le b \\ \\ 0 & \ x<a\ ,\ x>b \end{matrix}
Функция распределения \begin{matrix} 0 & x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ a \le x < b \\ 1 & x \ge b \end{matrix}
Математическое ожидание \frac{a+b}{2}
Медиана \frac{a+b}{2}
Мода любое число из отрезка [a,b]
Дисперсия \frac{(b-a)^2}{12}
Коэффициент асимметрии 0
Коэффициент эксцесса -\frac{6}{5}
Информационная энтропия ln(ba)
Производящая функция моментов \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}
Характеристическая функция \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}

Непреры́вное равноме́рное распределе́ние - в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

Содержание

Определение

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где a,b\in \mathbb{R}, если её плотность fX(x) имеет вид:

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right..

Пишут: X \sim U[a,b]. Иногда значения плотности в граничных точках x = a и x = b меняют на другие, например 0 или 1 / 2(ba). Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Функция распределения

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right..

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка [a,b], то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x\not= a,b.

Производящая функция моментов

Простым интегрированием получаем:

M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)},

откуда находим все интересующие моменты непрерывного равномерного распределения:

\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2},
\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3},
\operatorname{D} X = \frac{(b-a)^2}{12}.

Вообще,

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n{a^k b^{n-k}}.

Стандартное равномерное распределение

Если a = 0, а b = 1, то есть X \sim U[0,1], то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным. Имеет место элементарное

Утверждение. Если случайная величина X \sim U[0,1], и Y = a + (ba)X, где a < b, то Y \sim U[a,b].

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, легко построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования.

См. также

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home