Теорема Кантора — Гейне

Теорема Кантора — Гейне гласит, что

Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём

Доказательство

Воспользуемся доказательсвом от противного.

Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое ε, что для всех δ>0 существуют такие x и y, расстояние между которыми меньше δ, но расстояние между их образами не менее ε:

\exists \epsilon>0\ :\quad \forall \delta>0\ \exists x_{\delta},y_{\delta} \in A : \quad d(x,y)< \delta, но d(f(x),f(y))\ge \epsilon.

Возьмём последовательность δk, сходящуюся к 0, например, δk=1/k. Построим последовательности xk и yk так, чтобы

d(xk,yk) < 1/k, тогда d(f(xk),f(yk))>ε

A — компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности:

x_{k_j} \to \bar x \in A, \quad y_{k_j} \to \bar y \in A.

Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: \bar x = \bar y = \zeta. И, так как f непрерывна f(x_{k_j} \to \zeta, \quad f(y_{k_j} \to \zeta \Rightarrow d(f(x_{k_j}),f(y_{k_j})) \to 0 что противоречит предположению, что d(f(x_k),f(y_k))\ge \epsilon.

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

Остаётся добавить, что сказанное неверно, например, для открытой области: последовательности x и y могут сходиться к одной из её точек прикосновения, не пренадлежащей области и в котором функция вполне может иметь разрыв.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home