Цепная дробь

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\,\cdots}}}\;

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (т.е. положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Содержание

Разложение в цепную дробь

Любое ненулевое вещественное число x может быть представлено цепной дробью [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], где

a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,
a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,
\dots
a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,
\dots

где \lfloor x \rfloor обозначает целую часть числа x.

Для рационального числа x это разложение оборвётся по достижению нулевого xn для некоторого n. В этом случае x представляется конечной цепной дробью x = [a_0; a_1, \cdots, a_n].

Для иррационального x все величины xn будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x представляется бесконечной цепной дробью x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots].

Подходящие дроби

n-ой подходящей дробью для цепной дроби x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], называется конечная цепная дробь [a_0; a_1, \cdots, a_n], значение которой равно некоторому рациональному числу \frac{p_n}{q_n}. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

p - 1 = 1,p0 = a0,pn = anpn - 1 + pn - 2;
q - 1 = 0,q0 = 1,qn = anqn - 1 + qn - 2.

таким образом значения pn и qn представляются значениями континуант:

p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)
q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)

Последовательности \left\{p_n\right\} и \left\{q_n\right\} являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением

pnqn - 1 - qnpn - 1 = ( - 1)n - 1,

которое можно переписать в виде

\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.

Откуда следует, что

\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.

Отсюда, в частности, следует, что мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Свойства и примеры

  • Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:
9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;
  • Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Например:
\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]
золотое сечение \phi = [1;1,1,1,\dots]
  • Для некоторых чисел можно найти более сложную закономерность. Например, для основания натурального логарифма:
e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...,1,1,2(n - 1),1,1,2n,...]
  • Для числа пи подобной закономерности не выявлено:
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15,...]

Приложения цепных дробей

  • Приближение вещественных чисел рациональными
  • Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана ζ(3)
  • Алгоритм факторизации SQFOF

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home