Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая — кривая γ на регулярной поверхности F, нормальная кривизна которой вдоль γ равна нулю. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением:

II_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0

где II — вторая фундаментальная форма поверхности.

Свойства

  • Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой γ (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F в той же точке.
  • Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности F (теорема Бельтрами—Эннепера).
  • Прямолинейный отрезок на F всегда является асимптотической кривой.
  • Параболическая кривая всегда является асимптотической кривой. Например,
    • параллель тора, разделяющаяобласти с гауссовой кривизной разных знаков
    • ребро возврата на псевдосфере.
  • Через каждую точку параболической области (где K = 0, но H\not=0) проходит единственная асимптотическая кривая, совпадающая с прямолинейной образующей.
  • Через каждую точку гиперболической области (где K < 0) проходят две и только две асимптотические кривые, составляющие так называемую асимптотическую сеть.
    • На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырехугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над (формула Хаццидакиса).
  • При проективном преобразовании π пространства асимптотическиe кривыe поверхности F переходят в асимптотическиe кривыe преобразованной поверхности π(F).
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home