Символы Кристоффеля

В математике и физике, символы Кристоффеля, названные в честь Элвина Бруно Кристоффеля (18291900), являются координатными выражениями связности Леви-Чивита или аффинной связности. Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии для практических вычислений геометрических величин в заданной системе координат. Вычисления такого рода обычно очень громоздкие и требуют исключительного внимания к деталям, поэтому их лучше выполнять на компьютере при помощи пакетов компьютерной алгебры. Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Содержание

Определения

Символы Кристоффеля могут быть определены из того условия, что ковариантная производная метрического тензора g_{ik}\ равна нулю:

\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.\

Для сокращения записи символ набла \nabla и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой ";" в случае ковариантной и запятая "," в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

\,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0. \

Явные выражения для символов Кристоффеля получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

\Gamma^i {}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \

где g^{ij}\ - контравариантная метрика, обратная к g_{ij}\, которая определяется (через дельта Кронекера) g^{k i} g_{i l}= \delta^k {}_l\. Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и обычные тензоры, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат.

Связность в безындексных обозначениях

Пусть X и Y - векторные поля с компонентами X^i\ и Y^k\. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).\

В некоторых старых учебниках в этом выражении пишут dx вместо X. Здесь и нижк используется правило суммирования Эйнштейна, т.е. по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Свертка тензора с метрическим тензором означает поднятие/опускание индекса:

\langle X,Y\rangle = g(X,Y) = X^i Y_i = g_{ik}X^i Y^k = g^{ik}X_i Y_k.\

Необходимо иметь в виду, что g_{ik}\neq g^{ik}\ и что g^i {}_k=\delta^i {}_k\ (дельта Кронекера). Под метрическим тензором обычно понимается тензор gik с двумя индексами внизу (с ковариантными индексами). Тензор с двумя верхними индексами, g^{ik}\, находится путем решения системы линейных уравнений g^{ij}g_{jk}=\delta^i {}_k\.

Условие отсутствия кручения у связности, :\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\, эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.\

Замена координат

При замене переменных (x^1,...,x^n)\ на (y^1,...,y^n)\, базисные векторы преобразуются ковариантно,

\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

\overline{\Gamma^k {}_{ij}} = \frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r {}_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j} \

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в т.наз. en:jet bundle с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

См. также

Метрический тензор

Ковариантная производная

Ковариантное дифференцирование

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home